群体理论解决了哪些问题？
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徐**
2018-02-27 17:32:50
集团理论就像一个钉子。单靠你自己就不能建立很多钉子。然而，如果你正在建造任何东西，它们可能就在某处。就这样，团队是基本的组成部分，并且无处不在。然而，你通常需要的不仅仅是群体理论本身，而是充分利用它。也就是说，这里列出了各个小组出现的各个地方的简短列表。
伽罗瓦群体是伽罗瓦理论的基本对象。伽罗瓦理论可以归结为一种概括性的概念（尽管这是一种过于简单化），因为研究多项式的根可以如何在保持代数关系的同时进行混洗。伽罗瓦理论的重要结果包括：
一个很好的证据表明，五次和其他高阶多项式一般没有根源，可以用自由基的形式表达（我在这里写到）。
使用类似的想法，您可以证明几何中的各种不可能性结果，例如您无法使用直尺和指南针来对角度进行三等分的事实。
微分伽罗瓦理论类似于普通的伽罗瓦理论，但研究微分算子。团体在这里也是基础，尽管他们倾向于是李群的矩阵，而不是有限群。微分伽罗瓦理论允许我们研究如何以及何时某些函数是其他函数的导数。这具有重要的后果：
刘维尔定理是一个结果，可以让你证明各种函数如eX2和罪恶（x ）/ x没有初等反衍生物（即它们不能写成简单函数的组合，如多项式，1 / x，三角函数，指数函数和对数）。（虽然Ryan Reich在评论中指出，Liouville定理的证明实际上几乎不使用群体理论，所以包括这一点在内是有点作弊的。）
如果我没有弄错，Risch算法就是利用微分伽罗瓦理论的思想建立起来的。Risch算法是一个奇妙的半算法，它接受初等函数并告诉你：1）他们是否有初等的反导数，2）如果他们这样做，给你它们是什么。简而言之，它允许计算机代数系统自动计算积分。
李群是“平滑”的群体，也就是你也可以认为是表面的群体。这些表现在偏微分方程的研究中; 这是因为如果你能证明偏微分方程的解可以满足某种对称性，那么这可以显着减少求解方程的难度。当然，李群精确捕捉这种对称性。这是一个基本的关系，它已经成为现代量子场理论的基石。
组允许您研究和量化空间的对称性。这具有从愚蠢到深度有用的应用。
您可以将魔方移动到一个组中的所有不同方式。如果你了解生成器及其之间的关系，你可以建立算法，让你解决魔方。
在化学中，晶格的对称性是根据群论来研究和描述的。
通过考虑保存我们感兴趣的属性的转换空间，或者相反地，如果我们选择特定的转换空间，找出哪些属性被保留，您可以从群理论角度研究几何。例如，我们可
以通过反演几何来解决问题，我们考虑线性分数转换。（这个答案的第一部分基本上就是这样做的。）这种方式研究双曲空间也是很常见的，因为通常距离函数是直接处理的混乱。
对有限阿贝尔群体的研究与基本数论一起发展，并且有许多结果证明其他结果（反之亦然）。特别是，欧拉定理最自然地被证明是一个群体理论结果。但是，当然，欧拉定理和（群体理论）观察一样，每个群体（Z / PñZ）×是循环的（如果p是一个奇素数），是Diffie-Hellman密钥交换中的一个基本组成部分，许多其他密码协议同样建立在基本群论/基本数论上。
椭圆曲线的群体结构在研究中是非常重要的。椭圆曲线本身非常有用，并且具有无数的应用程序。
椭圆曲线密码学非常好，因为它可以提供与更经典的算法相同的安全级别，但密钥更短（这更容易保密）。
有各种丢番图方程可以通过吸引椭圆曲线的属性来解决（例如参见Alon Amit的答案，你如何找到x的正整数解ÿ+ z+ yž+ x+ zx + y= 4 ？，或者Senia Sheydvasser的回答是什么是Diophantine方程的所有解法，x3- 2 ÿ2= - 1？）
椭圆曲线是费马最后定理证明的核心。
基本组是代数拓扑中的基本对象，就同一性和上同调组而言，就此而言也是如此。所有这些不同的对象都可以让你证明各种不错的拓扑结构，并且可以让你展示各种表面和空间的拓扑结构是不同的（例如，你不能使其中一个变形）。例如，参见学术博客上的Senia Sheydvasser的“同源和维度”。
这仅仅是表面，但它应该是一个很好的第一个介绍。